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En ocasiones veo tanques

 

 

El pasado mes de noviembre, concretamente el día 11, celebramos el final de la Primera Guerra Mundial. En mi opinión, una guerra es lo peor que le puede ocurrir a un país. Con lo fácil que sería que los que se han enfadado se liaran a puñetazo limpio y se diera por concluida la batalla cuando uno de los dos no se pudiera levantar del suelo. Como cuando éramos pequeños y nos peleábamos con alguien que nos caía mal. Uno de los dos ganaba la pelea y aquí paz y después gloria. Es más, en muchos casos, tras la confrontación surgía una amistad duradera. No fue así en la Primera Gran Guerra. De hecho, el día en que se decretó el final hubo más muertos que en el desembarco de Normandía, en la Segunda Gran Guerra. Si, ya se que esto puede extrañar, pero aquellos que estaban en el frente pensaron que si la guerra se acababa y no habían conseguido una medallita o un título de “valiente” se volvían a casa con el mismo sueldo con el que habían ido a partirse los morros. Así que, decidieron enviar a muchos batallones enteros a combatir cuerpo a cuerpo, o como fuera, contra el enemigo. De ese modo sus vidas cambiaron, económicamente hablando, porque al regresar a sus países les esperaban unas sustanciales nóminas.

 

Pero no venía a hablaros de guerras, que no es bonito. Vengo a daros la tabarra con algo con lo que ya os aticé en el artículo del mes pasado: contar. Y es que cuando preguntas en un aula si alguien sabe contar lo normal es que haya risas y todo el mundo levante la mano triunfante ante algo que, por naturaleza sabemos hacer casi con los ojos cerrados... ¿o no?

 

Pues no. No sabemos. De hecho, nuestro cerebro es capaz de contar, de un vistazo, un grupo de hasta cinco objetos. A partir de ese número tenemos que contar uno por uno los elementos. Eso no nos diferencia mucho de algunas tribus en el Amazonas que sólo cuentan hasta dos. A partir de dos sólo tienen la palabra “muchos”. Esto, que en un principio nos podría parecer bastante limitado no lo es. Si miramos la fotografía de una manifestación o de una carrera multitudinaria también decimos “muchos” si alguien nos preguntara cuántas personas acudieron al evento. Y si crees que te engaño, mira la fotografía de la derecha y me dices cuántos corredores ves. Muchos, ¿verdad? La ventaja que tenemos nosotros es que hemos desarrollado las matemáticas. Así que tenemos herramientas para abordar el problema. Una de ellas es la combinatoria. Si. Ya lo sé. Todos la hemos sufrido en silencio, como las hemorroides. Y nos costó mucho entenderlas. O no las entendimos y fueron el primer ladrillo del muro que levantamos contra todo aquello que supusiera tener que estudiar matemáticas. Lo sé. Lo sé. Afortunadamente, he dicho que había varias herramientas. La otra es la estadística. Y ¿por qué nadie nos habló de ella en lugar de la combinatoria? Por dos motivos. La combinatoria evalúa de forma exacta el número de elementos que hay en algún sitio sin contarlos, pero conociendo detalles como de cuántos elementos dispongo y cuántos elementos tiene cada combinación que realice. En el caso de la fotografía está claro que la combinatoria no nos sirve. El otro motivo es que si la combinatoria te pareció complicada…la estadística también tiene sus maldades.

 

El caso es que la estadística no es exacta, en contraposición a la combinatoria, pero a su favor tiene que permite evaluar con mayor rapidez el número de elementos de una población. Eso sí, a cambio de admitir unos márgenes de error. En el caso de la fotografía anterior, podríamos estimar que a la competición asistieron unos 8000 corredores. No es exacto, pero no he tenido que contar uno por uno. Así es como funciona, a grandes rasgos, la estadística. Predice globalidades, pero no particularidades. ¿Recordáis que hace unas semanas llovió mucho en Menorca y hubo 10 muertos? Pues se debió, en parte, a esto. Los modelos matemáticos meteorológicos permiten predecir lo que va a ocurrir, en general, en un territorio, pero no te dicen lo que va a ocurrir a nivel puntual.

 

Y todo este rollo, ¿para qué? Bueno, pues para mostraros el lado amable de las matemáticas, en este caso de la estadística. Por ejemplo, supongamos que queremos determinar cuántos peces hay en un lago. Aquí la combinatoria no la podemos aplicar, como tampoco podemos contar todos los peces uno a uno. En este caso lo que podemos hacer es pescar con una red unos cuantos, pongamos que 120. Podemos marcarlos mediante algún tipo de tinte o etiqueta que no les dañe ni a ellos ni a su entorno y a continuación devolverlos al lago. Pasados unos días podemos volver al estanque y volver a capturar con una red unos cuantos peces. Supongamos que son 155. De todos ellos, encontramos que 31 tienen el tinte con el que marcamos a los peces que pescamos el primer día. Podemos determinar el número total de peces del lago haciendo una regla de tres. Si hay 31 peces tintados en 155, a 120 tintados le corresponderán N. O lo que es lo mismo, 120 multiplicado por 155 y dividido por 31. Eso nos da un total de 600 peces. No está mal. Pero ¿puedo asegurar al 100% que hay 600 peces? Pues no. Debería de atribuir a mis cálculos algún tipo de margen de error ya que, si repitiera la experiencia de pescar los peces otro día, quizá habría 25 tintados sobre 115 capturados. Al realizar las cuentas obtendríamos que ahora el total de peces del lago es de 552. Para tener en cuenta estos errores, los cálculos que se deberían realizar son los correspondientes a un intervalo de confianza para las proporciones. No voy a entrar en ellos porque, aunque no son complicados, supondrían tener que hablar de manera más específica de aspectos de estadística. Y no entro en ellos porque estos artículos son de divulgación científica y lo que pretenden es satisfacer la curiosidad de quien quiera leerlos sin necesidad de que tenga que saber gran cosa. Pero para aquellos que queráis aprender más sobre los intervalos de confianza sólo tenéis que entrar en la sección titulada “Docencia” de esta página web y ver los vídeos de problemas correspondientes a la sección “Estadística” apartado “Inferencia”.

 

Pero hay casos más complejos en los que es necesario contar y en los que no podemos hacer el truco que acabo de explicar para los peces. Por ejemplo, saber cuántos corredores participaron en una maratón o el número de ciclistas en una competición. A este tipo de problema ya se enfrentaron los militares hace algún tiempo. Me explico. Durante la Segunda Guerra Mundial tomó especial importancia el uso de las máquinas en el frente, ya fuera para desplazar tropas como para emplearlas como arma. Así, mientras que en el mar los submarinos y los destructores eran los que podían decantar un combate en favor de un bando u otro, en tierra el elemento diferenciador era el tanque. Los alemanes habían conseguido desarrollar un modelo llamado Panther que era prácticamente indestructible, y los aliados estaban muy interesados en averiguar el número de tanques mensuales que los germanos eran capaces de fabricar. De ese modo se podían hacer una idea de la potencia del enemigo y evaluar cuántos carros blindados tenían sobre el terreno. Y así, como quien no quiere la cosa, les endosaron el trabajito a los espías, que para eso están. Las instrucciones eran muy claras: determinar el número de tanques que era capaz de producir el enemigo al mes. Pero mientras los espías intentaban dar con la respuesta, los departamentos de inteligencia pensaron que quizá ellos podían aportar su granito de arena. Para ello idearon diferentes métodos para dar con la cifra. Esos métodos se basaban en deducir la producción a partir de los números de serie de los tanques, más concretamente, de las cajas de cambio de los tanques, pues éstas llevaban una numeración correlativa. Al operar con diferentes números de serie, de alguna manera, intuían el valor que querían averiguar. Esas operaciones reciben el nombre de estimadores en estadística. Pero no nos desviemos del tema. Estos tipos idearon bastantes estimadores hasta que dieron con uno que era bastante fiable y que consistía simplemente en tomar de toda la lista de números de serie que se tenían, el valor más alto, le sumaban el valor resultante de dividir este valor entre el número de datos disponible y al resultado se le restaba uno.

 

Creo que es mejor que lo veamos con un ejemplo que podéis realizar vosotros en casa sin mayores problemas. Supongamos que queremos averiguar el número de vehículos que hay.  Supongamos, para facilitar los cálculos, que las matrículas de los coches no tienen letras, tan sólo 4 cifras. Siendo así, sabemos que el número total de vehículos sería 10000. Ahora vamos a ver si la formulita funciona. Para ello sólo tenemos que asomarnos a la ventana e ir apuntando los números de matrículas que vayamos viendo. Por ejemplo, podríamos apuntar los siguientes números; 1389, 7621, 1025, 5689. Ahora vamos a ver cómo se aplica la formulita. Tomamos el valor más alto de la muestra: 7621. A ese número le sumamos la cantidad resultante de dividirlo entre el número de muestras que hemos tomado: 4. Nos queda 7621/4 = 1905. Por tanto, 7621 + 1905 = 9526. Finalmente, restamos uno, quedándonos 9525. No está nada mal, sobre todo si tenemos en cuenta que sólo hemos utilizado ¡cuatro números! Somos capaces de intuir que hay 9525 vehículos cuando el valor exacto son 10000. Probad en casa o cuando vayáis en el coche, veréis que los resultados son sorprendentes. Lo podéis utilizar en una maratón, en una carrera ciclista o en el atasco de la operación salida, tan sólo hay que quedarse con el número más alto y hacer las operaciones que acabamos de ver.

 

Pero ¿cómo acabó lo de los tanques alemanes? Pues, mientras que los servicios de espionaje fijaron que la producción mensual de tanques estaba entorno a los 1550, el estimador que os acabo de contar arrojaba un valor de 327. Al terminar la guerra se consultaron los archivos alemanes y encontraron que la producción era de 342 tanques. Como acabamos de ver, la estadística resultó ser más fiable, trabajando fríamente con números, que los valores suministrados por los servicios de espionaje. Esto debió resultar un duro golpe para aquellos que se dedicaban a cotillear en los secretos ajenos, pero pasados unos años se inventaron a 007 y los espías volvieron a recuperar el terreno perdido. Una bonita historia que pone de manifiesto que, a veces, no hace falta contar de uno en uno, excepto cuando dentro de unos días os toméis las uvas. ¡Os deseo unas felices fiestas y os espero en unos días con un nuevo artículo!

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