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¡Hablemos de curvas!

Hoy en día, todavía es frecuente encontrar personas que piensan que las Matemáticas no sirven para nada. A ellas les dedico esta frase de Albert Einstein:

 

“Hay dos cosas que son infinitas: el Universo y la estupidez humana, y de la primera no estoy muy seguro”

 

Las Matemáticas son y serán el mayor logro desarrollado por el ser humano, y tildarlas de inútiles es pecar de ignorancia en grado superlativo. Es verdad que son una ficción que permite explicar la realidad, pero, ¿en qué nos basamos para decir que son tan útiles?. Lo vamos a ver mediante un ejemplo de cómo las Matemáticas y la Física pueden resolver un problema cotidiano de Ingeniería.

 

Vamos a comenzar resolviendo un sencillo problema de Física: calcular la máxima velocidad con la que un vehículo puede tomar una curva. Para resolverlo no vamos a tener en cuenta la geometría del vehículo ni los efectos debidos a un posible peralte en la curva.

 

Evidentemente, tendremos que tener en cuenta el rozamiento pues, sin él no sería posible trazarla. Tal y como puede verse en la figura, la única fuerza que actúa sobre un móvil que describe una trayectoria circular es la fuerza de rozamiento. Esta fuerza siempre tiene sentido contrario al de movimiento. Por eso está dirigida hacia el centro de curvatura, porque se opone a que el vehículo se desplace en sentido contrario y, por tanto, se salga de la curva. Para determinar la velocidad máxima con la que podemos tomar la curva debemos aplicar la segunda ley de Newton. O lo que es lo mismo, la suma total de fuerzas que actúan exteriormente (en el eje x) deberá ser igual al producto de la masa por la aceleración a que esté sometido el móvil. En este caso, como acabamos de decir, sólo hay una fuerza, que debemos igualar al producto de la masa del vehículo por la aceleración. Suponiendo que la velocidad a la que se toma la curva es constante, la aceleración que actúa es, únicamente, normal.

 

 

El equilibrio en esta ecuación implica que la velocidad sea máxima. Esto es así porque si la velocidad fuese mayor, la fuerza de rozamiento no podría equilibrarla y el coche se saldría de la curva. Llegados a este punto conviene hacer una pequeña aclaración. Si el lector consulta acerca de este tema en otras fuentes probablemente verá que aquí se comete un error de bulto pues suele hablarse de aceleración centrífuga, mientras que yo he dicho que se trataba de una aceleración normal o centrípeta. ¿Es lo mismo hablar de una que de otra?. Me temo que no. El motivo es muy simple. La aceleración centrífuga (o la fuerza centrífuga) no existe. Creo que me acabo de ganar la indignación de no pocos lectores pero si me dejan explicarme, creo que podré convencerlos. A cada cual lo suyo: a los matemáticos las matemáticas, a los ingenieros la ingeniería y a los físicos…la física. Digo esto porque algunos autores hablan de fuerza centrífuga sin caer en que ésta es una fuerza ficticia que no se debe incluir en la resolución del problema que se aborda. Es una cuestión de forma más que de fondo pues, al final, el objetivo de explicar los efectos en una curva vienen a estar determinados por la misma ecuación. Sin embargo, hay que tener en cuenta que desde un punto de vista puramente físico, no debemos hacer un abuso de lenguaje y utilizar indiscriminadamente una aceleración centrífuga allá donde hay una aceleración normal. Veamos esto con más detenimiento.

 

A la hora de abordar un problema en Física es especialmente importante determinar el sistema de referencia. Lo habitual es hacerlo de modo que el observador sea externo a tal sistema. A este tipo de sistemas se los denomina “inerciales”, es decir, que en ellos los movimientos cumplen las Leyes de Newton. Dicho de otro modo, un sistema de referencia inercial es aquél que permanece en reposo absoluto o se mueve con velocidad constante. Siendo así, los problemas se pueden analizar mediante la aplicación de las fuerzas reales que actúen en el problema. Este es el método que habitualmente utilizan los alumnos de un curso de Física para resolver los ejercicios. Si, por el contrario, el observador se encuentra dentro del sistema de referencia, el ejercicio sólo es posible analizarlo introduciendo las llamadas fuerzas ficticias. Con nuestro ejemplo lo entenderemos mejor. Al tomar la curva, nuestro coche describe el arco correspondiente a la curva debido a que actúa una aceleración centrípeta, dirigida hacia el centro de curvatura de la curva. En este caso se ha analizado el movimiento desde el exterior y, por tanto, hemos utilizado un sistema de referencia inercial. Sin embargo, si al tomar la curva intento analizar el movimiento desde el interior del coche experimentaré una fuerza que tira de mí en sentido contrario al centro de curvatura de la curva. En este caso estoy dentro del sistema que intento analizar y, por ello, introduzco una fuerza ficticia que conocemos como fuerza centrífuga. Lo normal es hacer los cálculos empleando el primer método pues quien resuelve el problema suele hacerlo sobre un papel y mediante un dibujo que representa la situación desde fuera.

 

Ahora que ya estamos de acuerdo en que estamos resolviendo el problema desde el exterior del vehículo y que, por tanto, actúa una aceleración normal, podemos escribir:

 

 

Siendo v2/R, la expresión de la aceleración normal. Como vemos, el equilibrio de nuestro vehículo en el interior de una curva es proporcional a la masa de éste. A mayor masa necesito mayor fuerza de rozamiento para no salirme. También es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad con la que se toma la curva, e inversamente proporcional al radio de la curva. Por tanto, a mayor radio menor fuerza de rozamiento necesito. Así que, ya sabemos de qué magnitudes físicas depende un móvil para poder tomar una curva.

 

Ahora supongamos que queremos poner en práctica lo que hemos aprendido y necesitamos hacer una carretera en la que, por supuesto, habrá tramos en curva. Posiblemente las conexiones entre los tramos rectos y los curvos los hagamos mediante arcos de circunferencia. No está mal pensado. De hecho es así como se hacían las carreteras inicialmente. Pero esta técnica entraña un problema. Los arcos de circunferencia fueron adecuados hasta el siglo XIX, cuando las velocidades eran bajas, pero con el desarrollo de motores más potentes las curvas trazadas mediante arcos de circunferencia presentaban un grave problema: suponían bruscos cambios de trayectoria que, junto con velocidades mayores, daban como resultado mayor inestabilidad. Por este motivo, a principios del siglo XIX, se empiezan a buscar soluciones que permitan a vehículos de motor y a ferrocarriles circular por trazados curvos a mayores velocidades sin correr riesgos. Se comienzan a emplear curvas cúbicas o curvas elásticas para mitigar los efectos comentados anteriormente. Pero el problema no se consideró resuelto satisfactoriamente hasta que un Ingeniero Civil americano, Arthur Talbot, encontró la solución. Ésta consistió en buscar una curva de transición entre el tramo recto y el arco de circunferencia. De este modo se evitaba tener que frenar al llegar al tramo curvo. Esta curva de transición es la clotoide o espiral de Cornu, y tiene la propiedad de disminuir su radio de curvatura de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ésta.

 

Desde entonces ésta curva es muy conocida por los Ingenieros Civiles (o Ingenieros de Caminos), quienes la utilizan para los trazados de carreteras o vías de ferrocarril. Para ello siguen el patrón: línea recta – clotoide – arco de circunferencia – clotoide – línea recta, tal y como se puede apreciar en la fotografía de la derecha. De hecho manejan tablas de la clotoide para determinar tales trazados.

 

Así que, la próxima vez que circules por una autopista puedes fijarte en que, en los tramos rectos, el firme tiene una inclinación del 2% hacia el arcén exterior, lo que permite la evacuación de aguas, y en los tramos en curva, el firme sigue la trayectoria de la curva lo que hace que el propio vehículo “tome la curva” sin que nosotros giremos prácticamente nuestro volante. De hecho, en muchas ocasiones no seremos conscientes de que estamos dentro de una curva, hasta que al mirar por el espejo retrovisor la veamos. Esto nos da una idea de la suavidad con que las curvas se han adaptado a los tramos rectos.

 

Otro campo de aplicación de la clotoide son las atracciones conocidas como “montañas rusas”. En ellas actualmente se alcanzan velocidades de hasta 240 Km/h. A esa velocidad un cambio brusco en la dirección podría tener consecuencias muy negativas.

 

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