Ahora que mi madre padece la enfermedad de Alzheimer, durante algunos de los ratos que paso con ella no puedo evitar recordar cómo fue mi infancia a su lado. Se empeñó en que no fuéramos a la escuela ninguno de sus tres hijos hasta que fuera obligatorio, lo que se traduce en que lo que en aquella época se llamaba párvulos, para nosotros, no existiera. Y la verdad, no se lo reprocho. Lo pasábamos genial y quizá de ahí venga mi vena docente porque ella fue la que nos enseñó a contar. Sacaba una bolsita de tela y la abría. Allí estaba el tesoro mejor guardado: una colección de botones huérfanos de prenda en la que vivir, que servía para jugar a los negocios. Ella simulaba tener una tienda y yo compraba objetos de la habitación a los que ella les ponía precio. Y de esa guisa, aprendí a sumar, a restar y hacer ciertas cábalas en mi cabeza para poder adquirir todo lo que se me antojara de la estancia. Y así es como se me ocurrió el tema de este mes, recordando que mi primera maestra fue mi madre. Va por ella y por todas esas madres que habéis enseñado a vuestros hijos a contar, pero también va por todos los maestros y maestras que tienen la enorme responsabilidad de enseñar a contar a los niños en esa inocente etapa denominada “infantil”. Y es que, contar parece algo trivial, podríamos decir que natural. Pero ¿es así?
Se nos ha olvidado, pero un día aprendimos a contar y, ya fuera nuestra madre o nuestro profesor/a de
infantil, eso supuso un cambio radical en nuestras vidas. Al fin y al cabo, todo lo que añaden las matemáticas son operaciones más o menos complejas que se apoyan en los números. Sin ellos, el resto no tendría sentido. Como sin sentido te dejaba el profe de mates cuando te preguntaba, siendo niño, por cierta operación y decías la primera salvajada que se te ocurría. Lo habitual era un tirón en las patillas que se mantenía eterno en el tiempo mientras ibas soltando barbaridades en busca de dar con la respuesta correcta con el fin de que la soltara. Había veces en las que no dabas con la respuesta que se esperaba y el tirón aumentaba de intensidad a la vez que iba tirando en sentido vertical ascendente y, como por arte de magia, tus pies eran capaces de ponerse de puntillas hasta el punto de emular a la mejor bailarina de ballet. Eran otros tiempos, ¡qué duda cabe!
Pero comencemos por el principio. El ser humano, por naturaleza, los primeros números que aprende son el 1, el 2, el 3, … Y a esos números los llamamos por tal motivo “naturales”. Posteriormente, aparecen las operaciones de suma y resta. Y ahí comienzan los problemas pues aumenta el nivel de abstracción. Así que, a este nuevo conjunto de números se le llama “enteros” y, como podéis deducir, son los mismos números que los naturales, pero incluyendo los números negativos, es decir, el -3, el -2, el -1, el 1, el 2, el 3, … Y tampoco resulta complicado darse cuenta de que este último conjunto incluye al anterior. Hasta aquí supongo que todo va bien. Añadimos una nueva operación: la división. Y aparece un nuevo tipo de números, llamados racionales. Son el resultado de dividir, por ejemplo, 3 entre 2. Su resultado no es un número del conjunto anterior, pues 1,5 no es un número entero. Así que, estos nuevos números también incluyen a los anteriores porque podemos ver el número 4, por ejemplo, como el resultado de dividir 8 entre 2, y el -1 como el resultado de dividir -2 entre 2. ¿Veis que fácil? Acabamos de aprender que el conjunto de los números racionales contiene al conjunto de los números enteros que, a su vez, contiene al conjunto de los números naturales. Si a los números racionales le añadimos el conjunto de los números irracionales, que son aquellos que tienen infinitas cifras decimales sin presentar ningún tipo de patrón, casi tendríamos el conjunto de los números reales. Si. Lo se. Lo he vuelto a hacer. Pensaba que os pasaría desapercibido, pero no. Eso de “infinitas cifras decimales sin presentar ningún tipo de patrón” no ha quedado muy decoroso. Bueno, lo que quería decir con eso es que los números irracionales se llaman así porque escapan a la razón, pues obtenerlos no es fácil ya que tienen infinitas cifras decimales en un orden completamente aleatorio. Algunos tienen nombre, como pi, o el número e, o raíz cuadrada de dos…. Pero retomemos, que sólo falta hacer un pequeño esfuerzo. Decía que el conjunto de los números racionales junto con el de los irracionales casi forman el conjunto de los números reales, que está formado por todos
los números que podamos imaginar. ¿Qué le falta? El número cero. El cero no existía en la cultura occidental, aunque otras culturas ya hacían uso de él. En concreto, fue un tal Fibonacci quien lo importó a nuestro mundo. Supongo que os estaréis preguntando si ese Fibonacci es el mismo que inventó la sucesión que lleva su nombre. Pues ese es, amiguitos. Sobre él os hablaré en algún artículo porque resulta muy interesante todo lo que ese hombre nos legó. Así que, ya sabéis casi todos los conjuntos numéricos que existen. Falta uno, que incluye al de los números reales y que se conoce como “números complejos” que dominan y emplean a la perfección los ingenieros eléctricos, electrónicos, telecos, informáticos… para hacer funcionar el mundo de las ondas y las señales.
Pero todo ese peñazo que os he contado, ¿para qué? Pues era necesario, aunque quizá no os haya
gustado. Digo que era necesario porque ahora ya os puedo hablar de lo que es un sistema de numeración. Desde hace mucho tiempo, el hombre ha necesitado contar el número de elementos que tenía un conjunto de cosas. Y es que todas las culturas han desarrollado algún método para computar elementos. Pero ¿cuál es la forma óptima? Pues podemos comenzar estableciendo un sistema que posea un único elemento, el uno. De este modo, el dos sería “uno uno”, el tres “uno uno uno”. Pronto somos conscientes de que tal sistema no es muy adecuado. Para indicar que tenemos cien elementos tendríamos que decir “uno” cien veces. Nada. Sistema eliminado. Optemos por poner nombre a cada número del uno al cien. Nada. Eliminado también. Supondría un esfuerzo memorístico enorme. Hay que tener en cuenta que nuestro cerebro es como un ordenador, necesitaría ocupar mucha memoria para almacenar el nombre de cada número del uno al cien. Ya hemos visto un par de dificultades que nos pueden surgir a la hora de numerar. Pero seguro que alguno de vosotros ya habrá pensado que esas dificultades ya están superadas porque sabemos contar hace mucho, ¿no?
El hombre comenzó a utilizar sus dedos para indicar el número de elementos de un conjunto. Por ejemplo,
para indicar que tenía seis pollos sólo tenía que abrir los cinco dedos de una mano y añadir otro dedo extendido de la mano restante. Que conste que, al igual que en otros artículos, estoy simplificando mucho un tema que es bastante extenso. Pero no querría desviarme, así que continuo con mi historia. El caso es que, como tenemos 10 dedos, aprendimos a contar hasta 10. Por ello decimos que nuestro sistema es decimal. Pero cuidado, que nadie cometa el error de decir que tal sistema está formado por los números 1, 2, 3, …, 9 y 10. El sistema decimal lo forman diez símbolos diferentes que son el 0, 1, 2, …, 8 y 9. Así, podemos decir que en un sistema de numeración cuando se terminan los símbolos, añadimos el siguiente de ellos combinándolo con cada uno de los símbolos y así sucesivamente. De modo que cuando comenzamos en el 0 y terminamos en el 9 hemos utilizado todos los símbolos posibles. Entonces colocamos un 1 y un 0, formando el 10, luego el 1 con el 1, formando el 11, y así hasta el 1 con el 9, etc. Pero todo esto ya lo sabíais. Lo que quizá lo que no sabíais es que en el transcurso de la evolución tuvimos la suerte de cambiar el sistema de numeración romano por el sistema arábigo, que es el que actualmente empleamos. Y digo que tuvimos la suerte de hacer esto porque el sistema romano permitía contar, pero no era adecuado para operaciones como el producto o la división. Os dejo que meditéis sobre ello medio segundo.
Continuamos. Seguro que pensáis que este método de numeración es el único. Pues tampoco. Si habéis
tenido una infancia feliz y habéis visto los dibujos de Disney…¡sus personajes tienen cuatro dedos! Lo que significa que esos seres utilizan un sistema octal. Me podréis rebatir argumentando que eso es ficción y que, por tanto, en la vida real sólo es válido el sistema decimal. Correcto. Pero sólo en parte. Es cierto que no utilizamos el sistema octal. Pero a cambio utilizamos el sistema duodecimal. Cuando compramos huevos lo hacemos por docenas o medias docenas, además tenemos 12 meses, 12 horas y 12 signos zodiacales. El origen de este sistema parece ser que se debe a la observación de 12 apariciones de la luna a lo largo de un año. Además, es defendido a ultranza por algunas sociedades en Gran Bretaña y Estados Unidos porque el número 12 presenta mas divisores primos que 10. Eso permite que las divisiones en base 12 sean más sencillas. Entonces, ¿ya no tenemos más sistemas de numeración con los que convivamos? Pues sí, claro que sí. El sistema sexagesimal divide una circunferencia en 360 grados y, a su vez, ésta se divide en 12 partes iguales de 30 grados cada una, lo que supone las 12 marcas horarias en nuestros relojes analógicos. Y, aunque una hora son sesenta minutos (múltiplo de 12) y un minuto son sesenta segundos, los segundos se dividen en 10 partes. Esto es, no me digáis que no, a todas luces torticero porque estamos mezclando sistemas de numeración.
Pero ahí no acaba todo. Hay un sistema de numeración que no utilizamos directamente pero que usamos todos los días de forma salvaje. El sistema binario. Si estás leyendo este artículo créeme si te digo que el sistema binario está detrás de él. Actualmente, vivimos lo que se ha dado en llamar la revolución digital. Se basa en la transmisión de información. Pero no de cualquier información. Información digital. Inicialmente,
la electrónica permitió poder comunicarnos a larga distancia ya fuera telefonía, televisión, radio… Pero había un problema, las transmisiones eran analógicas. Como supongo que no todo el mundo está familiarizado con ellas lo contaré de manera sencilla. Una comunicación analógica se realiza enviando muchos números diferentes (esto no es así del todo pero simplifica mucho la explicación) a través de un canal de comunicación, que puede ser el aire o un cable. Lo que intento decir con esto es que la voz o la imagen se transforman en números y esos números se envían por el canal de comunicación que acabo de mencionar. En otro artículo trataré en detalle cómo se lleva esto a cabo. Como decía, los números se envían, pero por el camino pueden sufrir alteraciones debidas a interferencias en el medio de comunicación. Esas alteraciones pueden modificar uno o varios de los números transmitidos en cualquier otro número de todos los posibles, lo que supone que se reciba mal el mensaje. Esto no es deseable. Así que hay que pensar en algún modo seguro para enviar información. Se recurre al sistema binario. En él sólo tenemos dos símbolos: el 0 y el 1, a los que se les conoce como bits. De este modo cuando la imagen o el sonido lo convertimos a números en sistema binario y éstos los transmitimos a un receptor, aunque los números puedan cambiar sólo lo pueden hacer a un único número, así el cero puede cambiar a un uno y el uno puede cambiar a un cero. ¡Joroba Alberto, pues estamos en las mismas! Bueno, pues si y no. Es cierto que cada elemento, el 1 o el 0, puede cambiar de valor, pero ahora tenemos una ventaja. Los bits se envían en grupos de 8, lo que se llama byte. O lo que es igual, 8 bits forman un byte. Pero no nos perdamos en terminologías. Cuando enviamos esos paquetes de combinaciones de ceros y unos formando un total de 8 elementos podemos añadir, al final, un bit más llamado bit de paridad que nos indica mediante un 1 si el número de unos enviados es par. Veámoslo con un ejemplo, transmitimos el siguiente código 00101110, como tiene 4 unos la máquina añadirá un 1 al final para indicar que hay un número par de unos. Si el receptor recibe 00101100 porque ha habido un uno que se ha “perdido”, contará un número impar de unos, que no concuerda con el bit de paridad, que por ser un uno nos está chivando que el número de unos debería ser par. Como la máquina ha detectado un error en la comunicación envía una señal al emisor pidiendo que repita ese trozo de información. Eso si, todo esto se tiene que efectuar a una velocidad vertiginosa, ¿verdad? Pues eso lo hacen vuestros teléfonos móviles y vuestros ordenadores gracias al ingenio del ser humano y a saber contar.
Como habéis visto, es vital para que una sociedad avance que los profesores, desde los primeros cursos,
sepan explicar muy bien los conceptos más básicos a los niños para que crezcan entendiendo lo que hacen y que no le tengan miedo a las matemáticas. Así que, vaya desde aquí mi reconocimiento y todo mi ánimo para que los profesores sigan enseñando y lo hagan con ganas. Todos los genios han tenido un maestro. Y ese reconocimiento lo hago extensivo a todos esos padres y madres que, como lo hizo la mía, plantan una semilla matemática en nuestras cabezas, aunque sea con unos simples botones.
¡Hasta el próximo articulo!